デルタ 関数 フーリエ 変換 - いろいろな関数のフーリエ変換

図で書くと、以下のような関数ですね。

全ての周期関数 は言い過ぎだけど、病気みたいな関数を除けば はサイン波とコサイン波の重ね合わせで表現できるっていう。

さて ,この式の左辺は超関数の定義を説明した時の式と同じ形式になっている. しかしデルタ関数の定義を使えば次のような計算は問題なく成り立つわけである. デルタ関数のフーリエ変換 デルタ関数は普通の意味での関数ではないのでフーリエ変換の公式に当てはめるわけには行かない. 教科書によっては「区分的に滑らか」という条件が書かれていないものもあるが ,敢えて書かなかっただけで本当は入れる必要があるのではないかと私は思う. この離散データからなる関数を、デルタ関数を用いて次のように定義する。

しかし雰囲気をつかみやすいようにいつもの変数に書き換えよう. なぜそのような点を気にしているかというと ,途中で無限大になるような関数を許していいのなら ,デルタ関数をフーリエ変換することにも何ら問題がなさそうに思えてきてしまうからだ. 超関数のフーリエ変換の定義がまだされていないのにこんな変形をしても良いのかと思うわけだが ,とりあえず該当部分を という記号で表してみたというだけの話である. 例えばデルタ関数の場合にパーセバルの等式を当てはめてみると となるわけだが ,右辺は無限大に発散してしまうし ,左辺のようなデルタ関数の 2 乗を含む計算も定義されていないので計算不能だ. ガウス関数 型 のフーリエ変換に関する詳細な計算は「」でまとめた。

ほとんどの理工系向けの教科書がこの部分を詳しく書いてくれていないからだ. この式が、 離散的なデータから元の信号g t を構成する式である。

そのようなものを無邪気にフーリエ変換の公式に当てはめてみて ,問題なく式が成り立つことが示せたから受け入れて使ってしまおうという態度では節操がなさすぎると思うのだ. 100分割じゃ足りなかったか。

まず、複素フーリエ級数を考える上で オイラーの公式を知っていなければなりません。

証明は省略するが ,そのような関数をフーリエ変換したものも ,同様な性質を持つらしい. そのためにはまず ,「超関数」というのが何なのかを説明しておいた方がいい. これらはどちらもフーリエ変換が可能な条件には当てはまっていないのだが ,なぜか形式上は問題なくフーリエ変換できているように見えるのだった. 今話したような疑問 ,すなわち ,絶対可積分であることとフーリエ変換可能であることの関係がどうなっているのかについては実際の証明を見てみれば解決するのだろう. ） この式の積分順序を交換して・・・ ,この操作には別に何の問題もないはずだ. それよりもずっと早く 0 に収束するような関数でないといけないだろう. 実空間（左図）で、幅が鋭い（ の小さい） ガウス関数を与えれば、 逆空間（右図）のガウス関数の幅は広がる。