フーリエ変換例題 - 【フーリエ変換】非周期関数を考える。複素フーリエ級数展開の周期性を無限大にしよう。｜宇宙に入ったカマキリ

フーリエ変換のまとめ（公式、例題、証明）

このフーリエ積分ですが、一見とても複雑に見えるかもしれませんが、展開して行く過程はとても簡単です。

wpcf7-list-item-label::before,. 長さの区間でごとに値を持つんだから，点に決まってるお．わざわざ聞くほどのことかお? list-check-square-o li::before,. やる夫周波数領域では周期的になるんだったお．正規化角周波数が増えても，元の信号と見分けがつかないんだったお．やらない夫そうだな．時間と周波数を入れ替えても同じだ．時間または周波数の一方の領域で離散的だと，他方では周期的になる．逆に一方で周期的だと，他方では離散的になる．やる夫それでこういう表になるわけだお．やらない夫時間から周波数，周波数から時間のそれぞれについてマトリックス状に表すとこうなるかな．フーリエ変換は連続・非周期のまま，離散フーリエ変換は離散的・周期的のまま，時間領域と周波数領域を行ったり来たりする変換だ．それに対して，フーリエ級数展開と離散時間フーリエ変換は，「連続・周期的」と「離散的・非周期的」が入れ替わりながら行ったり来たりする変換になる．やる夫こうしてみると「フーリエ級数展開」だけ名前が異色だお．やらない夫そうだな．「離散周波数フーリエ変換」とでも呼ぶ方がすっきりするかも知れない．でも歴史的経緯があるのでそういう呼び方はしない．やる夫そういえば，式の形もフーリエ級数だけちょっと違って見えるお．やらない夫といっても，をどっちにつけるかだけの違いだけどな．何度も話した通り，正変換と逆変換のどちらに定数倍をつけるかは本質的な問題じゃないんだ．フーリエ級数の場合は歴史的にあくまで「級数展開」として扱われてきたので，の方をきれいな形にして，フーリエ係数を計算するの方にしわ寄せしたわけだ．他の 3 つは時間領域から周波数領域への変換の方をきれいに表示して，逆変換にしわ寄せしたわけだな．やる夫あー，そうか，そこだけを例外だと思って見渡すと，4 組ともほとんど同じ式だってわかるお．やらない夫そうだな．その他に注意して見比べておきたいところとしては，• どういうことだお．が大きくなったらだって大きくなるお．高周波になるんじゃないかお．やらない夫そこが勘違いしやすいところだ．離散フーリエ変換は周期の周期関数だったことを忘れてないか? も，整数について定義される周期の関数である．• やらない夫そうなるな．時間も周波数も，離散的でかつ周期的ってことだ．やる夫おお，対称的だお．やらない夫整理しておこう．離散時間信号の周波数スペクトルは，一般の場合は，周期の周期的な連続スペクトルになる．ただし，その特殊な場合として，周期の周期的な時間信号の場合を考えると，周波数スペクトルは，周期で周期的で，かつ離散的なスペクトルになる．これならコンピュータで扱えそう，という寸法だ．やる夫時間領域でも周波数領域でも，有限個の数字の組で表されているわけだお．だからコンピュータで扱えるわけだお．やらない夫そういうことだ．ところで，周波数領域ではどんな間隔で離散化されていることになると思う? 離散フーリエ変換やらない夫これまで，フーリエ級数から始めて，フーリエ変換に進み，そして前回は離散時間フーリエ変換を学んだわけだ．やる夫そうだお．離散時間フーリエ変換がわかったので，これで晴れて離散時間信号の周波数スペクトルを計算できるようになったわけだお．やらない夫うーん，ま，そう言っても間違いではないな．やる夫何でそんな歯切れの悪い感じなんだお? ただ、式が長いだけですので、フーリエ積分に尻込みせずにしっかりと学んで、フーリエ余弦変換とフーリエ正弦変換の導出の仕方を理解してください。

フーリエ余弦変換とフーリエ正弦変換を解説してみた

やらない夫計算できるのは確かにその通りなんだ．机の上ではな．ところが，コンピュータの中で計算できるかって話になると，ちょっと手放しでは喜べない．やる夫んー，どういうことだお．やらない夫ちょっと離散時間フーリエ変換と逆変換の公式をもう一回書いてみてくれ．やる夫えーと，式とだお．やらない夫ま，とりあえず式の離散時間フーリエ変換の方はよしとしようか．ある角周波数を固定して右辺を計算すれば，その周波数の成分が計算できる．もちろん無限和は計算できないけど，現実世界に存在するの信号は有限の長さだからな．有限個の総和で計算できる．問題は式の逆変換だ．やる夫んー，逆変換だって，何か時間を固定して右辺の積分を計算するだけ…あ，そうか，積分しなきゃならないんだお．やらない夫そこだ．時間は離散化されたけど，周波数は連続のままだからな．積分は計算機では厳密には計算できない．やる夫じゃあ，周波数も離散化すればいいんだお! やらない夫あー，そこは計算済みだとしておこうか．の部分は入力に依存しないから，あらかじめ計算して表として持っておくと考えていい．やる夫そうかお．じゃあ，えーと，を計算するには，複素数の乗算を回して，それら個の複素数の総和を取るんだから加算が回だお．やらない夫それはある一つのについて計算する場合だな．の全部について計算するならどうだ? これをフーリエ積分公式といいます。

まとめ今回はフーリエ余弦変換とフーリエ正弦変換を説明しましたが、それらを求めるにはフーリエ積分を知っていなければなりません。

フーリエ変換の基礎（フーリエ級数展開）のまとめ

やる夫その倍だお．やらない夫そういうことになる．大雑把にいって，に比例する計算量がかかるということだ．このことをよく「計算時間がである」という．話し言葉では「計算時間がのオーダである」ということが多いな．やる夫何かまた記号が増えたお．やらない夫で，高速フーリエ変換を使うと，計算量がなんとになる．やる夫なんと! ，，をそれぞれ，周期的離散時間信号の振幅スペクトル，位相スペクトル，パワースペクトルと呼ぶ．やる夫何ていうか，このまとめも毎回おなじみな感じだお．筆者もコピペしてるんじゃないかお? list-plus-square-o li::before,. は周波数のインデックスを表す整数で，は，に含まれる正規化角周波数 [rad] の振動成分の量振幅・位相を表す．• 「1個、10個、3個」は各波数の波の振幅と考えることができます。

やらない夫他の章と見比べてみるのもいいかもな．周波数を表すインデックスが，実際には正規化角周波数に対応しているというのが重要なところだ．特に注意が必要なのは，が大きくなったからとって，周波数が高くなるとは限らないことだ．やる夫え，えっ! 5em;margin-bottom:2em;padding-left:1. list-window-close-o li::before,. という意味があるというのがわかります。

フーリエ変換のまとめ（公式、例題、証明）

list-chevron-right li::before,. 書籍ではExcel演習を中心に「フーリエ変換のイメージをつかむ」ことを目指しますが、講義では計算が中心となっています。

やらない夫ああ，そこはちょっと説明が必要だな．まず，長さの積分区間が本のインパルスを含んでいるってのはわかるだろう．だから連続する個のについて総和を取ることになるんだが，ほら，は周期で繰り返すわけだろ．どの範囲で取っても同じだから，一番わかりやすそうな 0 からまでにしている．やる夫んー，それってわかりやすいかお? やる夫えーと，それはフーリエ級数のときと同じように考えればいいんだお．時間領域で周期ってことは，基本角周波数がだってことだお．だから，周波数領域では間隔で離散化されていることになるお．やらない夫おお，わかってるじゃないか．やる夫馬鹿にしないでほしいお．やらない夫さて問題．周波数領域の周期の区間のうち，何箇所の点で周波数スペクトルは値を持つだろうか．やる夫え? これらの関数の集合を正規直交関数系と呼びます。

フーリエ変換演習

やる夫うっ，えーと，どうだったかお．時間領域で離散化したときは，周波数領域でスペクトルが周期的になったんだお．時間と周波数をひっくり返して考えると，「周波数を離散化すると時間領域では周期的になる」ってことでいいのかお? やらない夫強気だな．まあ答えとしてはそれで正解だ．ただし，時間と周波数の対称性という観点でこれをよく理解しておいて欲しい．時間領域で 1 周期あたり点からなる離散時間信号は，周波数領域でも 1 周期あたり点の離散周波数スペクトルになる．やる夫あー，なるほど，時間でも周波数でもちょうど点で 1 周するんだお．やらない夫これから導出するのは，そういう点の離散時間信号から点の離散周波数スペクトルへの変換とその逆変換だ．本来，離散時間・離散周波数フーリエ変換とでも呼ぶべきものだが，長いので普通は離散フーリエ変換 Discrete Fourier Transform; DFT と呼ぶ．やる夫そりゃまた大胆に略したお．やらない夫ということを踏まえた上で，式との離散時間フーリエ変換をもう一度見てみよう．やらない夫そうだな．と同じことが起きているわけだ．時間と周波数が逆だけどな．周期的でない時間信号の場合に連続的に広がっていたスペクトルが，一定間隔の飛び飛びの線の並びにギュッと圧縮されるイメージだ．やる夫ギュッと圧縮したから線の高さが無限大に伸びるって話を．やらない夫まあ，あくまでイメージだけどな．でもそういうイメージを持っておくのは重要だ．で，逆変換であるの計算の方はを積分するわけだが，の間隔でデルタ関数が並んだを長さの区間で積分するわけなので，要するにインパルス本の面積を足し合わせることになるわけだ．それによって，元の有限値の列に戻るという仕組みだ．やる夫確かに前回と似たような話だお．やらない夫というわけで，離散時間フーリエ変換の枠組みで周期時間信号を考えようと思うと，無限大の値を持つが出てくるわけだ．無限大のままじゃ不便だから，有限の値で表せるように改変したのが離散フーリエ変換という枠組みだ．まずは，をこんな風に表すところから始める． 1 やる夫いきなりややこしい式だお．んー，そもそもって何だお．やらない夫はインパルスをおきに並べたものだっただろ．に立っているインパルスが，デルタ関数の倍の高さだとする．インパルスの「面積」がだと考えてもいい．やる夫えーと，あ，そうか，がに立っているインパルスで，その付近だけを積分区間にとって積分するとになるんだお．で，それをまで重ね合わせたのがになるんだお．やらない夫そうだな．が周期なのに対応して，は周期だということに注意してくれ．やる夫，，… と増えていっての次のはと同じ値に戻るわけだお．やらない夫で，式の積分に，これを代入する． 3 やる夫えーと，デルタ関数を含む式の積分だから，のところの値だけが残るわけだお．…あれ? list-minus-square-o li::before,. 08em solid eee;border-radius:. list-caret-square-o-right li::before,. menu-six li:nth-last-child 2 ,. やる夫えーと，離散的になるんだったお．基本周波数の整数倍のスペクトルしか持たないんだったお．フーリエ級数のところで最初に出てきた話だお．やらない夫その通り．じゃあ，時間領域で離散的な信号は? list-check-circle-o li::before,. list-arrow-circle-right li::before,. list-arrow-circle-o-right li::before,.。

list-times-circle-o li::before,. やらない夫その通りだ．落ち着いて思い出してみて欲しいんだが，フーリエ級数ってまさにそうだったろ．やる夫ああ，そういえば，時間の周期関数を飛び飛びの周波数成分に分解するのがフーリエ級数展開だったお．周波数領域で離散的になってるお．やらない夫今回考えるのは，周波数領域だけじゃなく，時間領域・周波数領域の両方で離散的にするって点がフーリエ級数とは違うところだ．やる夫ええと，そうすると…，時間領域でも周波数領域でも周期的になる…ってことかお? フーリエ変換演習フーリエ変換演習本ページの資料は私金丸が 2007年度〜2011 年度に工学院大学にて行った講議「数学演習III」のうち、フーリエ変換に関する内容の配布資料を公開したものです。

6. 離散フーリエ変換 (やる夫で学ぶディジタル信号処理)

また、 9 は次のようにも書けます。

回内容解説問題解答 1 フーリエ変換を学ぶための準備 - 2 フーリエ級数展開の例 3 フーリエ級数展開の例２ 4 複素フーリエ級数展開を学ぶための準備 5 複素フーリエ級数展開を学ぶための準備２ 6 複素フーリエ級数展開 7 フーリエ変換を学ぶ準備 8 フーリエ変換の計算 9 フーリエ変換最終回コメント 2017年6月28日記すフーリエ変換に関する演習です。

フーリエ変換の基礎（フーリエ級数展開）のまとめ

やらない夫ああ．実はそれは正しい指摘だ．ただし，今まで考えてきたフーリエ変換だって 0 ～を積分範囲に取っても全く問題ないってことに注意してくれ．単に慣習の問題でしかないと思っていい．離散フーリエ変換はどうしてもコンピュータで処理することを前提にして考えるからな．プログラムの中で配列とかを表すことを考えると， 0 ～を範囲にするってのは，まあ妥当な慣習かなと思う．配列のインデックスに負の数を取れないプログラミング言語が多いからな．やる夫ふーん，じゃ，まあそう思うことにしますお．やらない夫というわけで，ほとんどゴールにたどり着いているんだが，最後に，慣例に従って定数倍のところを変えておこうと思う．となるような数列を導入しよう．やる夫また天下りですかお．やらない夫まあ，そうなんだが，フーリエ変換対を定義するときにで定数倍の決め方が大して本質的でないのは，だ．こう決める理由も後でわかる．やる夫ふーん，ま，いいお．やらない夫ともかく，さっきの式のに代入する．その結果得られるのがこれだ． 10 やる夫ああ，これも何度も出てきたような計算だお．クロネッカーのデルタが出るところは，えーと，のときとのときで場合分けして普通に計算すればいいんだお．やらない夫離散フーリエ変換の定義式の頭には定数倍がついていないのに注意してくれ．こうなるように，さっきと決めたんだと考えるといい．やる夫離散フーリエ変換の式の方をきれいにするために，離散フーリエ逆変換の式にしわ寄せがいったわけだお．フーリエ変換とか離散時間フーリエ変換と同じだお．やらない夫というわけで，離散フーリエ変換の対が式と式として無事定義できた．時間領域と周波数領域のどちらも離散的で，どちらも周期で繰り返す．しかも値は無限大に飛ばない．コンピュータでは，どちらもサイズの配列で表せるわけだ．• 積分・総和の範囲は，変換元の領域で非周期的な場合は全域，周期的な場合は 1 周期分だけ．• って，いやいや，全然ピンと来ませんお．やらない夫まあそうかもな．具体的な数字を入れてみようか．普通，離散フーリエ変換を使うときは 256 とか 512 とか 1024 とか，そういう点数で計算することが多い．はそれぞれ 65536，262144，1048576 だ．やる夫ざっと約6万，26万，100万ってとこだお．やらない夫これがになると，それぞれ 2048，4608，10240 になる．やる夫 10 倍とか，下手したら 100 倍速くなるのかお…．そりゃ使わない手はないお．やる夫なんだかいろんな種類のフーリエ変換が出てきて混乱してきたお．やらない夫そうだな，最初のフーリエ級数も1つと数えると全部で4種類出てきたことになる．ここらでまとめておこうか．時間領域周波数領域離散性周期性離散性周期性連続周期的フーリエ級数展開離散的非周期的連続非周期的フーリエ変換連続非周期的離散的非周期的離散時間フーリエ変換連続周期的離散的周期的離散フーリエ変換離散的周期的やる夫んー，余計ややこしいお．やらない夫時間領域での信号の様子を分類すると，連続なのか離散的なのかの 2 通りのそれぞれについて，周期的なのか非周期的なのかの 2 通りがあって，都合通りだ．そのすべての場合に対応しているわけだ．やる夫あー，それで 4 種類なのかお．やらない夫ことの復習だが，時間領域で周期的な信号は，周波数領域ではどうなるんだった? fab-exclamation-circle::before,. フーリエ余弦変換とフーリエ正弦変換さて、ようやくフーリエ余弦変換とフーリエ正弦変換が求める素地ができました。

連続変数については積分，離散変数については総和する．• list-play-circle-o li::before,. 4 を 3 に代入すると次のようになります。

フーリエ変換の基礎（フーリエ級数展開）のまとめ

でに戻るんだ．やる夫あ…，そうだったお．確かには正規化周波数でいうと [rad] になるお． 0 と一緒で直流成分だお．やらない夫が 0 からまで増える間に，正規化角周波数は 0 からまで変化するわけだが，その間で一番周波数が高いのはあくまで真ん中ののところだ．でいうと，が偶数ならがこれに対応する．これを過ぎると周波数はが増えるとともに低くなっていく． 15 やらない夫さて，離散フーリエ変換がわかったので，コンピュータで信号の周波数分析ができるようになったわけだ．ただし，実際には，あの公式の通り計算しちゃいけない．やる夫なんだお，またちゃぶ台返しかお．やらない夫もっと効率のよい計算方法がある．高速フーリエ変換 Fast Fourier Transform; FFT と呼ばれている．離散フーリエ変換が必要なときは，常にこの計算方法を用いるべきだ．やる夫じゃあそれを教えて欲しいお．やらない夫そうしたいのはヤマヤマなんだが，時間がないので，パス．やる夫えー，ひどいお．やらない夫基本的なことはだいたいの信号処理の教科書には書いてあるはずなので，そちらを当たってほしい．そしてもう一つ，世の中に出回っている高速フーリエ変換のプログラムには，普通の教科書に書いてあることよりもう少し踏み込んだ高速化がなされているものも多い．だから実用上は，自分でプログラムを書こうと思わずに，ちゃんと世の中で実績のあるライブラリなり何なりを使うのが一番だ．やる夫人のふんどしかお．やらない夫時にはそういう割り切りも必要だ．やる夫でも，高速って言うけど，実際のところどんだけ高速なんだお．そんな大した違いあるのかお．やらない夫そうだな，その点だけは議論しておこうか．まず，離散フーリエ変換を公式通り計算するとどのくらいの演算が必要になる? フーリエ余弦変換の例題問題ここで、フーリエ余弦変換の例題を解いてみようと思います。